Metateorema de solidez y completitud

La solidez es la propiedad que tienen los argumentos cuando son válidos y sus premisas son todas verdaderas.​ Si un argumento es deductivamente válido, entonces si es sólido, su conclusión será necesariamente verdadera.

Por ejemplo, considérese el siguiente argumento:

1.       Todos los seres vivos pueden morir.

2.       Todos los griegos son seres vivos.

3.       todos los griegos pueden morir.

Este argumento es sólido, porque por un lado es válido, y por otro lado las premisas son todas verdaderas. Pero considérese el siguiente argumento:

1.       Todos los griegos pueden morir.

2.       Todas las plantas son griegos

3.       Luego, todas las plantas pueden morir.

Este argumento no es sólido, porque aunque válido, una de las premisas es falsa. Por último, considérese el siguiente argumento:

1.       Todos los hombres pueden morir.

2.       Todos los patos son animales.

3.       Luego, todos los animales pueden morir.

Este argumento tampoco es sólido, porque aunque las premisas son todas verdaderas, el argumento no es válido. En nada cambia que la conclusión sea también verdadera.

Completitud

En metalógica, la completitud o completitud semántica es la propiedad metateórica que tienen los sistemas formales cuando todas las fórmulas lógicamente válidas (todas las verdades lógicas) del sistema son además teoremas del sistema.​ Es decir, cuando el conjunto de las verdades lógicas del sistema es un subconjunto del conjunto de teoremas.

Por otra parte, la completitud sintáctica es la propiedad que tienen los sistemas formales cuando, para toda fórmula del lenguaje del sistema, o bien es un teorema o bien su negación lo es. Esto es, existe una prueba para cada fórmula o para su negación.

La lógica proposicional y la lógica del primer orden son ambas semánticamente completas, pero no sintácticamente completas. Por ejemplo, en la lógica proposicional, la fórmula p no es un teorema, y tampoco lo es su negación, de modo que eso basta para mostrar que no es sintácticamente completa. No obstante, como ninguna de esas dos fórmulas es una verdad lógica, no afectan a la completitud semántica del sistema.

El teorema de completitud de la lógica de primer orden:

Según el teorema de completitud de Gödel, «para toda fórmula A de la lógica cuantificacional de primer orden, si A es lógicamente verdadera, entonces A es deducible». Se llama teorema de completitud, porque todas las verdades lógicas expresables mediante el sistema son demostrables dentro del mismo sistema. Es un sistema completo. Gödel, además de formular un teorema tan elegante, demostró que era verdadero.

Formalmente, el teorema de Gödel es así: ╞ A → ├ A. El símbolo «╞» delante de una fórmula, significa que esta es una verdad lógica; el signo «├» delante de una fórmula, significa que esta es deducible y si está entre dos fórmulas, por ejemplo A ├ B, se lee «B se deduce de A». Pues bien, para demostrar su teorema Gödel supone

 (1) ╞ A

    Si (1) es verdadera, entonces ¬A, «no A», es insatisfacible, esto es, falsa para cualquier interpretación.

 (2) ¬ ╞ ¬A

    Y si ¬A es insatisfacible, es inconsistente, esto es, se puede deducir de ella una fórmula y su contraria:

 (3) ¬A ├ B ^ ¬A ├ ¬B

    Puesto que ¬A es inconsistente, ¬¬A («no, no A»), su negación, es consistente:

 (4) (¬A ├ B ^ ¬A ├ ¬B) → ├ ¬¬ A

    Por Modus Ponens entre (3) y (4), se obtiene

 (5) ├ ¬¬A

    Y aplicando la doble negación sobre (5), se obtiene:

 (6) ├ A

    Y puesto que a partir de ╞ A hemos llegado a ├ A, queda demostrado el teorema de Gödel

 (7) ╞ A → ├ A