Lógica del Predicado

La capacidad expresiva del lenguaje de enunciados es bastante limitada: no cualquier frase declarativa simple se puede formalizar convenientemente. Este hecho tiene como consecuencia que un gran número de razonamientos que se pueden expresar utilizando el lenguaje natural no se puedan validar utilizando las herramientas de la lógica de enunciados.

Ejemplo de las limitaciones de la lógica de enunciados A continuación presentamos un ejemplo bastante revelador de las carencias de la lógica de enunciados y de su lenguaje. Imaginemos el razonamiento (correcto) siguiente: “Los estudiantes son personas. Juan es un estudiante. Así pues, Juan es una persona.”

 • La formalización (correcta) sería la siguiente: si asignamos P a “los estudiantes son personas”, Q a “Juan es un estudiante” y R a “Juan es una persona”, entonces tenemos que: 

    P, Q ∴ R, no permite validar el razonamiento.

 • Otra formalización (que también se puede considerar correcta) es: si asignamos P a “ser estudiante”, Q a “ser persona”, R a “Juan es un estudiante” y S a “Juan es una persona”, entonces observamos que:

   P → Q, R ∴ S, tampoco permite validar el razonamiento.

La lógica de predicados es una ampliación de la lógica de enunciados que cuenta con un lenguaje formal más rico (más expresivo) y con un conjunto de reglas que permiten validar razonamientos expresados utilizando este lenguaje. La lógica de enunciados se debe entender, a partir de este momento, como un subconjunto de la lógica de predicados.

Predicados, variables y constantes

Un predicado es una aplicación definida en un dominio que adquiere valores en el conjunto de enunciados. Formalmente se expresa de la manera siguiente:

    P(x): D → enunciados.

    Informalmente, un predicado es un enunciado parametrizado (con variables)

Representaremos un predicado utilizando una letra mayúscula del alfabeto latino, con los parámetros, preferentemente representados por letras minúsculas del mismo alfabeto a partir de x, entre paréntesis y separados por comas.

Por ejemplo, el predicado P(x) podría ser la formalización de “x es un estudiante”. Se da a entender que el predicado P(x) no es un enunciado. P(x) se puede convertir en un enunciado sustituyendo la variable x (el parámetro) por algún elemento de su dominio. Si el dominio de x es el conjunto de las personas, entonces

    P(Juan) sí es un enunciado (y se corresponde con “Juan es un estudiante”).

Un predicado puede tener cualquier número (n ≥ 0) de variables. 

Según este número, los predicados se clasifican de la manera siguiente: 

1) Los predicados con n = 0 variables son los enunciados. 

2) Los predicados con n = 1 variables se denominan propiedades o predicados unarios. 

3) Los predicados con n = 2 variables se denominan relaciones o predicados binarios. 

4) A partir de n = 3 no existen nombres específicos. Un predicado con tres variables se puede denominar relación ternaria; uno con cuatro, relación cuaternaria, etc.